aviator oyununda riyazi gözlənti və şansın dəqiq hesablanması

Azərbaycanda son illərdə aviator markası ətrafında çoxlu müzakirələr gedir və mən, ehtimal nəzəriyyəsi üzrə mütəxəssis kimi, bu oyunun mexanikasını sırf riyazi aspektdən təhlil etmək istəyirəm. Bu məqalədə sizə aviator-un əsas prinsiplərini, artan əmsalların arxasındakı stoxastik prosesləri və uzunmüddətli perspektivdə oyunçunun qarşılaşdığı real ehtimalları göstərəcəyəm. Ətraflı statistika və müqayisəli təhlillər üçün https://mobizmagazine.com/ ünvanındakı resurslardan yararlanmağı tövsiyə edirəm, lakin burada bütün hesablamaları özüm aparacağam.

aviator-da əmsalların artım tempi – eksponensial funksiyanın rolu

aviator-un əsas mexanikası sadədir: hər raundda əmsal 1.00-dan başlayaraq yuxarıya doğru artır və oyunçu istənilən anda “cash out” edərək qazancını sabitləşdirə bilər. Riyazi baxımdan bu artım deterministik deyil, təsadüfi prosesdir. Əksər hallarda əmsalın dəyişməsi eksponensial modelə yaxınlaşır, yəni vaxt keçdikcə artım sürəti azalır, amma heç vaxt tam sıfır olmur. Tutaq ki, hər saniyə əmsal 0.5% artır – bu, 1.005^n kimi ifadə oluna bilər, burada n saniyələrin sayıdır.

Bu funksiyanın davranışını araşdırmaq üçün 10 saniyəlik bir intervalı götürək. Əgər artım hər saniyə 0.5% olarsa, 10-cu saniyədə əmsal 1.005^10 ≈ 1.051 olacaq. Yəni 100 manat qoyan oyunçu 10 saniyə gözləsə, təxminən 105.1 manat geri ala bilər. Amma burada ən vacib məqam odur ki, oyunun hər anında serverin təsadüfi dayanma ehtimalı var və bu ehtimal zamanla artır. Bu, məhz ehtimal nəzəriyyəsinin ən maraqlı hissəsidir – biz həm artan əmsalı, həm də artan riski eyni anda modelləşdirməliyik.

aviator-un təsadüfi dayanma ehtimalı – hazard funksiyası ilə analiz

aviator-da hər saniyə oyunun dayanma ehtimalı sabit qalmır. Riyazi statistikada bu, hazard funksiyası adlanır və h(t) ilə işarə olunur. Sadə modeldə fərz edək ki, hər saniyə dayanma ehtimalı 2% təşkil edir. Bu halda oyunun 5 saniyə yaşama ehtimalı (1 – 0.02)^5 = 0.98^5 ≈ 0.9039 olur. Yəni 100 raunddan təxminən 90-ı 5 saniyədən çox davam edəcək, qalan 10-u isə daha tez başa çatacaq.

Lakin real aviator operatorları daha mürəkkəb sistemdən istifadə edirlər. Əmsal böyüdükcə, dayanma ehtimalı da artır. Bunu belə ifadə edək: əgər əmsal x-dirsə, dayanma ehtimalı p(x) = x / (x + 100) kimi hesablana bilər. Bu formulaya əsasən, x = 1.5 olduqda p ≈ 0.0148 (1.48%), x = 3.0 olduqda p ≈ 0.0291 (2.91%), x = 10.0 olduqda isə p ≈ 0.0909 (9.09%). Gördüyünüz kimi, əmsal artdıqca risk qeyri-xətti şəkildə böyüyür və bu, oyunçunun gözləmə strategiyasına ciddi təsir göstərir.

aviator-da gözlənilən dəyər (EV) hesablanması

İndi ən vacib riyazi göstəriciyə – gözlənilən dəyərə (Expected Value) keçək. Əgər oyunçu 2.0 əmsalında cash out etməyi planlayırsa və bu əmsala çatma ehtimalı 40%-dirsə, EV hesablaması belə aparılır: EV = 0.40 × 2.0 – 0.60 × 1.0 = 0.80 – 0.60 = 0.20. Bu o deməkdir ki, hər 1 manatlıq mərc üçün orta hesabla 0.20 manat qazanc gözlənilir. Amma diqqət edin – bu, oyunun ədalətli olması şərtilə keçərlidir. Real aviator-da operatorun marjası nəzərə alınmalıdır.

Operator marjasını modelə daxil etmək üçün ehtimalları bir qədər aşağı salırıq. Tutaq ki, 2.0 əmsalına çatma ehtimalı əslində 38%-dir (2% operator marjası). Onda EV = 0.38 × 2.0 – 0.62 × 1.0 = 0.76 – 0.62 = 0.14. Hələ də müsbət göstəricidir, lakin uzunmüddətli perspektivdə bu kiçik fərq oyunçunun bankrollunu yeyə bilər. Mənim tövsiyəm: hər zaman EV-ni hesablayın və yalnız müsbət dəyər aldıqda mərc edin.

aviator-da martingale strategiyasının riyazi tənqidi

Bir çox Azərbaycan oyunçusu aviator-da “martingale” adlanan strategiyanı tətbiq edir: uduzduqca mərc həcmini ikiqat artırmaq. Bu strategiyanın cəlbedici görünməsinə baxmayaraq, ehtimal nəzəriyyəsi onun iflasa məhkum olduğunu sübut edir. Fərz edək ki, ilkin mərc 10 manatdır və hər uduzuşda 2 dəfə artırırıq. 5 ardıcıl uduzuşda ümumi itki 10 + 20 + 40 + 80 + 160 = 310 manat olur.

Əgər hər raundda udma ehtimalı 50%-dirsə, 5 ardıcıl uduzma ehtimalı 0.5^5 = 0.03125 (3.125%) təşkil edir. Yəni 32 raunddan orta hesabla 1-də bu vəziyyət yaranacaq. Bu halda 6-cı mərc 320 manat olmalıdır və onu udmaq üçün ümumi itkini çıxmaqla yalnız 10 manat qazanc əldə edirsiniz. Amma problem burasındadır ki, ardıcıl uduzuşların sayı nə qədər çox olarsa, tələb olunan mərc həcmi də bir o qədər sürətlə artır. 10 ardıcıl uduzuşda ümumi itki 10230 manata çatır ki, bu da orta statistik oyunçunun büdcəsini çox üstələyir.

Cədvəl şəklində bu riskləri daha aydın göstərmək istəyirəm:

Bu cədvələ baxdıqda aydın olur ki, martingale sistemi kiçik müddətli qazanclar verə bilər, lakin uzunmüddətli riyazi gözlənti mənfidir. aviator-un təsadüfi əmsal artımı bu strategiyanı daha da təhlükəli edir, çünki siz heç vaxt hansı əmsalda dayanacağını bilmirsiniz.

aviator-da optimal cash out nöqtəsinin tapılması

Riyazi optimallaşdırma nəzəriyyəsinə əsasən, aviator-da optimal dayanma nöqtəsi oyunçunun risk toleransından və məqsədindən asılıdır. Əgər məqsəd qazancı maksimumlaşdırmaqdırsa, aşağı əmsallarda (1.2-1.5) cash out etmək daha etibarlıdır. Bunu sübut etmək üçün 1000 raundluq simulyasiya apara bilərik. Fərz edək ki, orta əmsal 1.3-dür və bu əmsala çatma ehtimalı 75%-dir.

Bu halda hər raundda gözlənilən qazanc 0.75 × 1.3 – 0.25 × 1.0 = 0.975 – 0.25 = 0.725 manat olur. Əgər 1000 raundda hər dəfə 10 manat mərc etsəniz, ümumi gözlənilən qazanc 7250 manat təşkil edir. Lakin yüksək əmsal (məsələn, 5.0) hədəfləyən oyunçu üçün çatma ehtimalı cəmi 10%-dir, EV isə 0.10 × 5.0 – 0.90 × 1.0 = 0.50 – 0.90 = -0.40 olur. Bu, mənfi dəyərdir və uzunmüddətli oyunda mütləq ziyana gətirib çıxarır.

Beləliklə, aviator-da ən rasional strategiya aşağı əmsal hədəfləmək və kiçik, lakin sabit qazanclar əldə etməkdir. Mən tez-tez deyirəm: ehtimal nəzəriyyəsi şans oyunlarında “uğur” anlayışını rədd edir, yalnız riyazi hesablamaya inanmaq lazımdır. Bu yanaşma ilə siz həm psixoloji stressi azaldar, həm də bankrollunuzu daha uzun müddət qoruyub saxlayarsınız.

aviator-da dispersiya və onun bankrolla təsiri

Dispersiya anlayışı aviator-da qazancların dəyişkənliyini ölçür. Əgər siz hər raundda 1.1 əmsalında cash out edirsinizsə, qazanc demək olar ki, sabitdir və dispersiya çox aşağıdır. Lakin 3.0 əmsalı hədəflədikdə, bəzi raundlarda böyük qazanclar, bəzilərində isə tam itkilər olur. Dispersiya düsturu σ² = Σ pᵢ × (xᵢ – μ)² şəklindədir və burada xᵢ hər mümkün nəticə, pᵢ onun ehtimalı, μ isə orta gözlənilən dəyərdir.

Konkret misal üçün iki strategiyanı müqayisə edək. Birinci strategiya: 1.2 əmsalında cash out, udma ehtimalı 80%. İkinci strategiya: 6.0 əmsalında cash out, udma ehtimalı 10%. Hər iki halda mərc 100 manatdır. Birinci strategiyada μ = 0.80 × 1.2 – 0.20 × 1.0 = 0.76, dispersiya isə 0.80 × (1.2 – 0.76)² + 0.20 × (-1.0 – 0.76)² = 0.80 × 0.1936 + 0.20 × 3.0976 = 0.1549 + 0.6195 = 0.7744. İkinci strategiyada μ = 0.10 × 6.0 – 0.90 × 1.0 = -0.30, dispersiya = 0.10 × (6.0 – (-0.30))² + 0.90 × (-1.0 – (-0.30))² = 0.10 × 39.69 + 0.90 × 0.49 = 3.969 + 0.441 = 4.41.

Göründüyü kimi, yüksək əmsal strategiyası daha böyük dispersiyaya malikdir və bu, oyunçunun psixoloji dayanıqlılığına ciddi təsir edir. Uzun müddətli oyunda yüksək dispersiya, hətta müsbət EV olsa belə, bankrollun tam tükənməsinə səbəb ola bilər. Buna görə də mən hər zaman orta səviyyəli əmsalları (1.5-2.5) tövsiyə edirəm.

aviator-un riyazi modeli – Markov zənciri yanaşması

aviator-da hər raundun nəticəsi əvvəlki raunddan asılı deyil, yəni hadisələr müstəqildir. Bu xüsusiyyət onu Markov zənciri

kimi modelləşdirməyə imkan verir. Markov zəncirində keçid ehtimalları yalnız cari vəziyyətdən asılıdır, keçmişdən deyil. aviator-da hər raund üçün keçid matrisi sabit qalır, çünki RNG (təsadüfi ədəd generatoru) hər dəfə eyni paylanma ilə işləyir. Bu, oyunçunun keçmiş nəticələrə baxaraq gələcək raundu proqnozlaşdıra bilməyəcəyini riyazi şəkildə sübut edir.

Markov zəncirinin praktiki faydası ondan ibarətdir ki, oyunçu öz strategiyasını statistik cəhətdən sabit parametrlər üzərində qura bilər. Məsələn, əgər siz 1000 raund ərzində hər dəfə 1.5 əmsalında cash out etsəniz, nəticələrinizin orta dəyəri müəyyən bir intervalda dəyişəcək. Bu intervalı hesablamaq üçün mərkəzi limit teoremi tətbiq oluna bilər. 1000 raund üçün orta qazancın standart xətası σ / √n düsturu ilə tapılır. Əgər σ = 0.7744 olarsa, standart xəta 0.7744 / 31.62 ≈ 0.0245-dir. Bu o deməkdir ki, orta qazanc 1000 raundda 0.76 ± 0.0245 intervalında olacaq.

aviator-da optimal mərc ölçüsü – Kelly meyarı

Kelly meyarı riyazi olaraq ən optimal mərc ölçüsünü müəyyən edir. Formula f* = (bp – q) / b şəklindədir, burada b əmsal nisbəti, p udma ehtimalı, q isə uduzma ehtimalıdır (1 – p). aviator-da 1.5 əmsalı üçün b = 0.5, udma ehtimalını 66% qəbul etsək, f* = (0.5 × 0.66 – 0.34) / 0.5 = (0.33 – 0.34) / 0.5 = -0.02. Mənfi dəyər o deməkdir ki, bu şərtlərdə mərc etmək riyazi olaraq sərfəli deyil.

Lakin əmsal 2.0 olduqda və udma ehtimalı 55% olarsa, b = 1.0, f* = (1.0 × 0.55 – 0.45) / 1.0 = 0.10. Bu halda Kelly meyarı bankrollun 10%-ni mərc etməyi tövsiyə edir. Praktikada isə mən Kelly dəyərinin yarısını istifadə etməyi məsləhət görürəm, çünki tam Kelly yüksək dispersiya şəraitində həddindən artıq risklidir. Yarım Kelly ilə siz daha sabit artım əldə edirsiniz və bankrollun tükənmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə azalır.